Introdução à teoria pós-tonal (4a. ed.).
5. Centralidade e coleções de notas referenciais.
5.1 Tonalidade e centralidade.
Na música tradicional da prática comum, o senso de que uma nota específica é a tônica é sentido de muitos jeitos diferentes e entrelaçados. Pense-se, por exemplo, sobre o Mi como a tônica da Sinfonia No. 3 de Beethoven. Ele é simultaneamente a fundamental da tríade de Mi maior (a tônica entre as tríades) e é o primeiro grau (1^) da escala de Mi maior (a tônica entre os graus da escala). Progressões harmônicas funcionais (de pré-dominante, para dominante, para a tônica) são direcionadas para ele; outras notas e harmonias ornamentam a conduzem para ele. Em todos esses sentidos, diz-se que a peça está na tonalidade de Mi maior e que o Mi é a tônica da peça.
A música pós-tonal também tem meios de estabelecer notas como centrais, mas na ausência de funções harmônicas tradicionais, é mais acurado falar de notas cêntricas e centralidade do que de tônicas e tonalidades. Não há nenhuma fronteira absoluta entre tonalidade tradicional e centralidade pós-tonal. Mais ainda, encontra-se uma variedade de efeitos cêntricos em música na qual a centralidade não desempenha um papel significativo, em música em que o senso de centralidade é vago ou contestado, até em música que é vividamente organizada em relação a uma ou mais notas cêntricas.
As três passagens mostradas nos Exemplos 5-1, 5-2 e 5-3 [*] dão uma ideia dos problemas envolvidos. Todas as três são peças cujos títulos identificam a nota cêntrica: Serenade in A, Symphony in C e Concerto in D e todas criam efeitos cêntricos por vias que não são tradicionalmente tonais.
O Exemplo 5-1 mostra uma progressão cadencial conduzindo para os Lás em oitavas no compasso final do primeiro movimento da Serenade in A.
Observe-se que a abordagem ao Lá não dá nenhuma pista de progressão V-I e que há pouco senso de Lá como nota da tônica ou de tríade da tônica de uma tonalidade. O baixo percorre o seu caminho do Fá (compasso 77) ao Ré (compasso 80) e então salta para o Lá (uma quarta justa abaixo). A parte superior equilibra-o simetricamente, terminando com um salto de Mi para Lá (uma quarta justa acima). Há uma convergência local relacionada para o Lá nos compassos 80-81, de Si e Sol (um tom acima e abaixo). Em uma passagem com poucas tríades e sem harmonia funcional, o Lá é estabelecido como nota cêntrica primariamente através de convergência inversiva. Este movimento é "em Lá", mas não "em Lá maior" ou " em Lá menor"; melhor ainda, é em Lá, em torno de Lá, provendo uma variedade de contextos para o Lá.
O Exemplo 5-2 mostra os acordes cadenciais estrondosos que concluem o primeiro movimento da Symphony in C de Stravinsky.
Este é o local onde sinfonias tradicionais podem alternar V e I como meio de reafirmar a harmonia da tônica (pense-se no final da Sinfonia No. 5 de Beethoven, que parece Stravinsky tinha em mente aqui). Mas os acordes que Stravinsky usa não são tríades e eles não têm qualquer relação funcional tradicional. Quando o primeiro acorde se move para o segundo, o Si se move para Dó, o que pode sugerir uma sensível resolvendo na tônica. Mas no mesmo momento, o Si do primeiro acorde reintegra o Si no segundo acorde, negando o efeito de resolução. Dentro do acorde final, encontra-se uma combinação das tríades de Dó maior e Mi menor: O Dó pode ser sentido como fundamental, mas o Mi está enfatizado no baixo. Em vez de encerrar inequivocamente em Dó, este movimento termina mantendo Mi e Dó numa relação tensa e não resolvida. Como na Serenade in A, a Symphony in C provê contextos para e resistência ao Dó como nota cêntrica; Dó não é a tônica de uma tonalidade maior ou menor.
No início do Concerto em Ré de Stravinsky (Exemplo 5-3), encontra-se a presença de três tríades: Ré maior, Ré menor e Si menor, nenhuma das quais é estabelecida inequivocamente; mais ainda, elas permanecem numa confrontação tensa e estática umas com as outras.
A classe de notas 5 às vezes soa como Mi, uma bordadura inferior de Fá no contexto de Ré maior e Si menor, e às vezes como Fá, como terça de uma tríade de Ré menor. O epônimo de Ré do título da obra está presente mais por implicação do que por vigoroso reforço contextual. A centralidade é uma importante característica da música, mas ela tem pouco a ver com as noções tradicionais de tônica e de tonalidades.
Em estilos mais altamente cromáticos de música pós-tonal, um senso de tonalidade ou centro de classe de nota pode estar presente apenas fugazmente. Considerando-se pela última vez o início das Three Piano Pieces, op. 11, no. 1 ([**]). Ele tem uma melodia lírica, com apojaturas expressivas e um acompanhamento de acordes. Ela tem um sentido tradicional e foi escrita em 1908, nos estágios iniciais do interesse de Schoenberg de escrever música sem armadura. Mas uma audição tonal e uma análise tonal são virtualmente impossíveis de sustentar. Existem análises publicadas da passagem por três autoridades respeitadas em três tonalidades diferentes: uma diz que é em Mi, uma diz que é em Fá e uma diz que é em Sol. Elas estão todas certas, porque há aspectos na música que podem suportar quaisquer uma dessas interpretações, e há outras tonalidades possíveis para serem ouvidas também. Mas nenhuma tonalidade molda a estrutura por qualquer meio profundo e confiável. Mais, a tonalidade opera nessa peça como um fantasma, assombrando a estrutura com sua presença, mas impossível de fixar. Uma descrição completa da obra e de outras como ela terão que reconhecer os restos fantasmagóricos da tonalidade tradicional, mas para uma compreensão ricamente satisfatória, a nossa análise tonal tradicional simplesmente não é de muita utilidade.
Discutir a centralidade de notas na música pós-tonal é mais complicado do que identificar a tônica numa pela tonal. Na música pós-tonal pode-se falar de um espectro inteiro de efeitos cêntricos. Num extremo representados por muita música dodecafônica, onde há pouco ou nenhum senso de centralidade. Mesmo assim, certamente, as classes de notas não são tratadas identicamente, e é importante ser sensível a qualquer tipo especial de tratamento concedido a classes de notas ou conjuntos de classes de notas. No outro extremo, muitas peças pós-tonais estão profundamente preocupadas com questões de centralidade.
A tonalidade e a centralidade são meios diferentes, mas relacionados de organizar a música.
5.2 Eixos inversivos.
A centralidade na música pós-tonal pode ser estabelecida por vários tipos de ênfase e reforço diretos: notas cêntricas são geralmente mais longas, mais fortes, mais frequentes e mais agudas (ou mais graves) do que outras notas. De um modo mais sistemático, a centralidade na música pós-tonal pode ser baseada em simetria inversiva. Um conjunto simetricamente inversivo tem um eixo de simetria, um ponto médio em torno do qual todas as notas se equilibram. Um eixo de simetria pode funcionar como um centro de nota ou de classe de notas.
5.2.1 Simetria inversiva no espaço de notas.
No início da passagem mostrada n Exemplo 5-4a, os [...] instrumentos estabelecem a nota Si4 como uma nota central. Conforme novas notas são adicionadas, elas estão geralmente equilibradas em torno daquela nota central, com cada salto descendente equilibrado por um salto ascendente do mesmo tamanho e vice-versa (Exemplo 5-4b): o Lá, um semitom e mais adiante treze semitons abaixo, está equilibrado pelo Dó, um semitom e mais adiante treze semitons acima; o Lá3 é equilibrado por Dó6; Sol3 está equilibrado pelo Ré6; e o Sol3 está equilibrado pelo Ré6. [...] Si4 é o eixo de simetria e literalmente a nota central da passagem.
5.2.2 Cunhas inversivas.
Em algumas passagens as notas irradiam-se a partir de uma nota central em uma cunha expansiva. No Exemplo 5-5 três partes estão em cânone (Exemplo 5-5a). As linhas canônicas compartilhadas começam em Mi e então uma cunha de notas se expande para fora aumentando gradualmente as distâncias (Exemplo 5-5b).
Uma cunha contrativa onde tudo converge para a nota eixo, pode ter uma vigorosa força cadencial (Exemplo 5-6a). As linhas começam com Mi em quatro oitavas diferentes e então convergem para o Si cadencial (Exemplo 5-6b).
5.2.3 Simetria inversiva no espaço de classes de notas (eixos de simetria).
A simetria inversiva pode ser realizada no espaço de classes de notas em vez de no espaço de notas. A passagem no Exemplo 5-7a [*] começa com a díade Dó-Ré e expande-se numa cunha simétrica. Quando a cunha alcança Sol-Fá, ambas as notas são duplicadas à oitava. Finalmente, a díade original Dó-Ré retorna, mas numa oitava diferente de sua primeira afirmação. Devido aos deslocamentos de oitava, é mais fácil entender a simetria inversiva com um mostrador de relógio de classes de notas (Exemplo 5-7b). Em tal mostrador o eixo de simetria consiste de duas notas (ou dois pares de notas) separadas por trítono - estas são os polos do eixo. Neste caso, o eixo é Dó/Ré—Fá/Sol.
Algo semelhante acontece no Exemplo 5-8a [*]. A peça começa com Lás e Sis na mão direita aos quais uma cunha melódica expansiva é adicionada na mão esquerda: Si e Sol (um semitom acima e abaixo da figura repetida), Dó e Sol (dois semitons acima e abaixo); Ré e Fá (três semitons acima e abaixo), Ré e Fá (quatro semitons acima e abaixo) e finalmente Mi, uma classe de notas que pode ser entendida como estando cinco semitons tanto acima quanto abaixo. A única das doze classes de notas que não é ouvida é Lá, que está justamente no meio da figura repetida, um tipo de centro silente em torno do qual tudo se equilibra (Exemplo 5-8b). Lá é o eixo de nota, mas Lá—Mi é o eixo de classes de notas. O Mi não desempenha muito um papel cêntrico na frase inicial, mas mais adiante na peça a música do início retorna transposta à T6 (Exemplo 5-8c). Naquele ponto, o eixo de classes de notas ainda é Lá-Mi, mas agora é o Mi que é particularmente enfatizado.
Há doze eixos de inversão e eles podem ser identificados tanto pela soma dos pares de notas equilibradas quanto pelas próprias notas do eixo (Figura 5-1). Para cada soma n, o eixo inversivo passará por n/2 e n/2 + 6. Por exemplo, se a soma dos pares equilibrados for 8, o eixo inversivo será 4—10. Se a soma for ímpar, o eixo passará entre pares de notas. Por exemplo, se a soma dos pares de notas equilibradas for 7, o eixo inversivo passará entre 3 e 4 e entre 9 e 10. Escreve-se aquele eixo como 3/4—9/10 ou Ré/Mi—Lá/Si.
5.2.4 Movimento de eixo para eixo.
Os doze eixos inversivos têm o potencial de funcionar como as doze tonalidades maiores e menores da tonalidade tradicional, incluindo a possibilidade de que a música possa "modular" de um eixo para outro. No Exemplo 5-10 [*], a primeira frase (compassos 1-14) equilibram duas melodias de notas simétricas uma contra a outra: a mão direita move-se acima de Si4 e a mão esquerda equilibra-se abaixo de Si3. A passagem como um todo está simetricamente em torno de um Mi4 que não soa. No compasso 15, o andamento muda e assim também o faz o eixo de simetria. O novo eixo de simetria de nota é Si5, sete semitons mais agudo do que o eixo da primeira frase. O movimento modulatório de eixo para eixo (Mi → Si) projeta compositivamente a ideia melódica inicial da mão direita, que sobe de Si para Fá: T7 em ambos os casos. Começando no compasso 17, o eixo alterna entre Si4 e Fá4 (pertencentes a um único eixo de classes de notas, Si—Fá), enquanto as melodias continuam seus focos em Si. Por esses meios, a música é moldada pelo movimento de eixo inversivo em eixo de maneira muito semelhante pela qual a música tonal tradicional se move de tonalidade para tonalidade.
O mesmo é verdade para o Exemplo 5-11a, mas de modo bem mais complicado. O motivo cromático de sete notas do início é simétrico em torno de sua primeira nota e sobe um semitom do início ao fim. A primeira apresentação (no compasso 2, repetida uma oitava mais aguda no compasso 3) é simétrica em torno de Fá enquanto a segunda apresentação (compasso 5) é simétrica em torno de Dó. Estas compartilham o mesmo eixo de simetria: 0—6. As duas entradas sobrepostas do motivo nos compassos 8-9 são simétricas em Sol e depois em Ré. Estas compartilham um eixo de simetria diferente: 1—7. Pode-se dizer que o eixo de simetria se deslocou um semitom acima, assim como o gesto melódico inicial envolvendo o movimento ascendente de um semitom (Exemplo 5-11b). (Seria igualmente acurado, mas menos interessante motivicamente, dizer que o eixo se deslocou sete semitons acima.)
A simetria inversiva equilibra as notas (notas ou classes de notas) em torno de um eixo de simetria o qual pode ter uma função cêntrica.
5.3 A coleção diatônica
Compositores de música pós-tonal frequentemente usam certos conjuntos grandes como fontes de material de notas. Ao extrair todos ou a maioria dos conjuntos menores de um único conjunto referencial maior, os compositores podem unificar seções inteiras de música. Ao mudar o conjunto referencial maior, os compositores podem criar um senso de movimento em grande escala de uma área harmônica para outra. Muitas coleções grandes estão disponíveis, mas quatro em particular atraem extensiva atenção compositiva e teórica: as coleções diatônica, octatônica, hexatônica e tons-inteiros. Cada uma dessas coleções tem propriedades estruturais e recursos harmônicos notáveis, e cada uma está associada com um mundo sonoro distinto.
A coleção diatônica é qualquer transposição das sete "teclas brancas" do piano, cc(013568A) (nome de Forte - 7-35). Esta coleção é, certamente, a fonte referencial básica para toda a música tonal ocidental. Todas as escalas maiores, menores (naturais) e modos eclesiásticos são coleções diatônicas. Coleções diatônicas são também comuns em música pós-tonal onde, entretanto, são usadas sem as funções harmônicas e encadeamentos tradicionais da música tonal, e frequentemente com a ausência das tríades maiores e menores usuais.
O Exemplo 5-12 ilustra o diatonicismo não funcional [*]. Embora a centralidade da passagem seja clara (Sol para os primeiros compassos e depois mudando para Lá), ela não é tradicionalmente tonal - tente analisá-la com numerais romanos! Ela usa, entretanto, somente coleções diatônicas. Essas coleções definem áreas harmônicas distintas. Nos primeiros compassos, somente as "teclas brancas" são usadas. No compasso 3, o Fá é substituído pelo Fá, resultando numa coleção diatônica diferente, uma transposição da primeira. Quando o centro de nota e a coleção mudam, assim também o faz o ordenamento modal: de Sol Mixolídio para Lá Dório. Essas mudanças - na centralidade, coleção e ordenamento modal - transmitem o senso de uma mudança em grande escala de uma área harmônica para outra.
Há doze coleções diatônicas distintas em seu conteúdo de classe de notas e elas podem ser identificadas pelas suas armaduras (quantidades de sustenidos e bemóis) (Figura 5-2). Assim se pode referir à "coleção 1-sustenido" ou à "coleção 4-bemóis", e designações come essas serão independentes do ordenamento escalar (não se está especificando o (1^) ou o ordenamento modal resultante). Por exemplo, a coleção diatônica que consiste de [Fá, Sol, Lá, Si, Dó, Ré, Mi] será identificada como DIA2.
| Nome da coleção (armadura) | Ordenamentos possíveis (escalas) |
|---|---|
| DIA0, DIA0 | Dó Jônio, Ré Dório, Mi Frígio, Fá Lídio, Sol Mixolídio, Lá Eólio, Si Lócrio |
| DIA1 | Dó Lídio, Ré Mixolídio, Mi Eólio, Fá Lócrio, Sol Jônio, Lá Dório, Si Frígio |
| DIA2 | Dó Lócrio, Ré Jônio, Mi Dório, Fá Frígio, Sol Lídio, Lá Mixolídio, Si Eólio |
| DIA3 | Dó Frígio, Ré Lídio, Mi Mixolídio, Fá Eólio, Sol Lócrio, Lá Jônio, Si Dório |
| DIA4 | Dó Eólio, Ré Lócrio, Mi Jônio, Fá Dório, Sol Frígio, Lá Lídio, Si Mixolídio |
| DIA5 | Dó Dório, Ré Frígio, Mi Lídio, Fá Mixolídio, Sol Eólio, Lá Lócrio, Si Jônio |
| DIA6, DIA6 | Dó Mixolídio, Ré Eólio, Mi Lócrio, Fá Jônio, Sol Dório, Lá Frígio, Si Lídio |
| DIA5 | Dó Lócrio, Ré Jônio, Mi Dório, Fá Frígio, Sol Lídio, Lá Mixolídio, Si Eólio |
| DIA4 | Dó Frígio, Ré Lídio, Mi Mixolídio, Fá Eólio, Sol Lócrio, Lá Jônio, Si Dório |
| DIA3 | Dó Eólio, Ré Lócrio, Mi Jônio, Fá Dório, Sol Frígio, Lá Lídio, Si Mixolídio |
| DIA2 | Dó Dório, Ré Frígio, Mi Lídio, Fá Mixolídio, Sol Eólio, Lá Lócrio, Si Jônio |
| DIA1 | Dó Mixolídio, Ré Eólio, Mi Lócrio, Fá Jônio, Sol Dório, Lá Frígio, Si Lídio |
Cada uma dessas coleções diatônicas pode ser ordenada em sete formatos: Jônio (equivalente às teclas brancas de Dó a Dó), Dório (de Ré a Ré), Frígio (de Mi a Mi), Lídio (de Fá a Fá), Mixolídio (de Sol a Sol), Eólio (de Lá a Lá) e Lócrio (de Si a Si). Dentro de cada uma das doze coleções diatônicas, cada um desses ordenamentos modais pode começar em qualquer uma das sete notas da coleção. Ao analisar música pós-tonal diatônica, geralmente quer-se conhecer tanto a nota cêntrica (se for possível determiná-la) quanto o ordenamento escalar.
A coleção diatônica provê um forte vínculo com a música anterior, mas ela age de um modo novo, como uma coleção de fontes de referência da qual motivos superficiais são extraídos. Na música tonal a coleção diatônica é geralmente dividida (repartida) em tríades. Na música diatônica pós-tonal as tríades são usadas, mas outras harmonias também ocorrem. Por exemplo, (0257) e (027) são subconjuntos diatônicos que ocorrem na música tonal muito raramente e como subprodutos dissonantes de encadeamentos. Na música diatônica de Stravinsky, entretanto, elas são particularmente comuns. O Exemplo 5-13 [**] mostra uma passagem diatônica baseada na coleção DIA3 ordenada como Lá Jônio.
[...] virtualmente em cada tempo nesta passagem encontra-se tanto Lá-Si-Mi quanto Lá-Ré-Mi, duas formas de (027). Juntas elas formam a classe de conjuntos (0257), uma favorita de Stravinsky. No compasso 5, justo onde uma cadência V-I poderia ocorrer numa peça tonal tradicional, Stravinsky tem Lá-Ré-Mi seguida de Lá-Si-Mi. A passagem está claramente centrada em Lá e na quinta justa Lá-Mi. Mas Stravinsky preenche aquela quinta não com a terça tradicional e sim com segundas e quartas, criando as sonoridades mais características de sua própria música. A música é diatônica, mas não é nem triádica nem tonal. Mais ainda, a coleção diatônica age como um tipo de campo harmônico do qual perfis musicais menores são extraídos.
Uma quantidade significativa de música descrita como "minimalista" faz uso da coleção diatônica assim como Stravinsky o faz, por meios não tradicionais e harmonicamente não funcionais. O Exemplo 5-14a [***] mostra o padrão básico de Piano Phase de Steve Reich, composta em 1967. Ele consiste em cinco notas da coleção dois-sustenidos: [Si, Dó, Ré, Mi, Fá], embora a ordem escalar seja difícil de especificar (Mi Dório? Si Eólio?). A coleção e apresentada como um entrelaçamento de duas figuras, um padrão de três notas (Mi-Si-Ré) e um padrão de duas notas (Fá-Dó). Um senso rítmico de três contra dois é assim construído.
Piano Phase está escrita para dois pianistas. O primeiro executante apenas repete o padrão do Exemplo 5-14a durante a peça inteira. O segundo executante entra em uníssono e então, depois de um tempo, gradualmente apressa o andamento até que a segunda parte tenha se movido uma semicolcheia adiante. Neste ponto a segunda parte mantém o andamento da primeira e juntos eles tocam a música mostrada no Exemplo 5-14b - um cânone à distância de uma semicolcheia. Depois de um tempo, a segunda parte se move à frente novamente até manter-se duas semicolcheias adiante, como no Exemplo 5-14c - um cânone à distância de duas semicolcheias. A peça inteira envolve o movimento entre fase e fora de fase dessa maneira até que, após doze estágios, o uníssono original é reestabelecido.
Do ponto de vista das coleções, a peça é incrivelmente estática - somente cinco classes de notas diatônicas são usadas do começo ao fim. Mas há também uma variedade notável produzida pelas mudanças rítmicas graduais. Por exemplo, é interessante comparar as díades harmônicas nos Exemplo 5-14b e 5-14c. No Exemplo 5-14b, uma nota de uma das duas figuras (Si-Mi-Ré e Fá-Dó) sempre soam com uma nota da outra e os intervalos que resultam são frequentemente dissonantes. No Exemplo 5-14c, uma nota de uma das duas figuras originais sempre soa com uma nota da mesma figura e os intervalos que resultam são geralmente consonantes. Essa alternância entre estágios relativamente consonantes e relativamente dissonantes persiste ao longo da peça inteira. A coleção diatônica de cinco notas subjacente nunca muda, mas suas relações internas estão sempre mudando, sempre envolvida em um processo dinâmico de mudança.
As coleções diatônicas são identificadas por sua armadura e, se uma nota cêntrica pode ser determinada, por sua ordem escalar.
5.4 A coleção octatônica.
A coleção octatônica é outra favorita pós-tonal, notavelmente na música de Bartók, Stravinsky e Messiaen. Essa coleção, cc(0134679A) (nome de Forte = 8-28), tem muitas características distintivas. Primeira, ela pé altamente simétrica, tanto transpositiva quanto inversivamente. Ela se mapeia em si mesma em quatro níveis de transposição e quatro níveis de inversão. Como resultado, ela tem somente três formas distintas (assim como o seu complemento, o acorde de sétima diminuta). O Exemplo 5-15 mostra as três coleções octatônicas e as identifica com o semitom de classes de notas mais grave que elas contêm. Assim, OCT0,1 é a coleção octatônica que contém Dó e Dó; OCT1,2 contém Dó e Ré; e OCT2,3 contém Ré e Mi.
Exemplo 5-15: as três coleções octatônicas.
OCT0,1 [0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10]
OCT1,2 [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11]
OCT2,3 [2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 0]
Cada coleção octatônica contém dois dos acordes de sétima diminuta e exclue o terceiro (ver a Figura 5-2).
Quando escrita como uma escala, a coleção octatônica consiste de 1 e 2 alternados (diferente da escala diatônica em que os 2 predominam e os 1 são colocados simetricamente). Ela só pode ser escrita em dois ordenamentos escalares diferentes, começando com um 1 e alternando 1-2-1-2-1-2-1 ou começando com um 2 e alternando 2-1-2-1-2-1-2 (Quadro 5-2). Há assim somente três coleções octatônicas e cada uma pode ocorrer em apenas dois ordenamentos. Compare-se com as doze coleções diatônicas, cada uma suscetível a sete ordenamentos escalares diferentes.
| Ordenamento escalar 1-2 | Ordenamento escalar 2-1 | |
|---|---|---|
| OCT0,1 | Dó-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si | Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Dó |
| Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Dó | Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Dó-Ré | |
| Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Dó-Ré-Mi | Sol-Lá-Si-Dó-Dó-Ré-Mi-Fá | |
| Lá-Si-Dó-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol | Si-Dó-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá | |
| OCT1,2 | Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Si | Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Si-Dó |
| Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Si-Dó-Ré | Fá-Sol-Lá-Si-Si-Dó-Ré-Mi | |
| Sol-Lá-Si-Si-Dó-Ré-Mi-Fá | Lá-Si-Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol | |
| Si-Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá | Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Sol-Lá-Si | |
| OCT2,3 | Ré-Mi-Fá-Fá-Sol-Lá-Si-Dó | Mi-Fá-Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Ré |
| Fá-Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Ré-Mi | Fá-Sol-Lá-Si-Dó-Ré-Mi-Fá | |
| Sol-Lá-Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Fá | Lá-Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Fá-Sol | |
| Si-Dó-Ré-Mi-Fá-Fá-Sol-Lá | Dó-Ré-Mi-Fá-Fá-Sol-Lá-Si |
Assim como a própria coleção octatônica, muitos de seus subconjuntos são inversiva ou transpositivamente simétricos. Cada subconjunto pode ser transposto à T0, T3, T6 e T9 sem introduzir quaisquer notas alheias à coleção. Reciprocamente, é possível gerar a coleção octatônica por transpor sucessivamente qualquer de seus subconjuntos à T0, T3, T6 e T9. Ao tomar-se uma tríade maior por exemplo, e combiná-la com suas transposições à T3, T6 e T9, pode-se criar uma coleção octatônica. A lista parcial de subconjuntos da OCT0,1 no Exemplo 5-x mostra que a coleção octatônica contém muitas formações familiares e que todos aqueles subconjuntos existem também à T3, T6 e T9.
Há três coleções octatônicas identificadas pelo seu semitom de classes de notas mais grave (OCT0,1, OCT1,2 e OCT2,3) cada uma suscetível a somente dois ordenamentos escalares: 1-2 e 2-1.
5.5 A coleção tons-inteiros.
Além das coleções diatônica e octatônica, a coleção tons-inteiros, cc(02468A) (nome de Forte = 6-35), também ocorre frequentemente na música pós-tonal. A coleção tons-inteiros tem o grau de simetria mais alto possível, tanto transpositiva quanto inversivamente. Sua classe de conjuntos contém somente dois membros distintos (Exemplo 5-18). Elas podem ser referidas como TI0 (a coleção tons-inteiros que contém a classe de notas Dó) e TI1 (a coleção tons-inteiros que contém a classe de notas Dó). Elas às vezes são chamadas de coleções "par" ou "ímpar", porque todos os inteiros de classes de notas da TI0 são pares (0, 2, 4, 6, 8, 10), enquanto aqueles da TI1 são ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11). Quando escritas como escalas, há somente uma única ordem intervalar possível: 2-2-2-2-2.
Exemplo 5-18: as duas coleções tons-inteiros.
TI0 [0, 2, 4, 6, 8, 10] "par"
TI1 [1, 3, 5, 7, 9, 11] "ímpar"
As estruturas de intervalos e de subconjuntos da coleção tons-inteiros são previsivelmente restritas e redundantes. Ela contém somente intervalos pares: classes de intervalos 2, 4 e 6. Ela contém apenas três diferentes tricordes-tipo - (024), (026) e (048) - três diferentes tetracordes-tipo - (0246), (0248) e (0268) - e um único pentacorde-tipo, (02468). A Figura 5-3 representa essa informação na forma de uma malha de inclusão - as classes de conjuntos estão conectadas àquelas que tanto as contém quanto estão contidas em, com a própria coleção tons-inteiros escrita no topo.
Há duas coleções tons-inteiros identificadas pela sua classe de notas mais grave (TI0 e TI1 e compartilhando um único ordenamento escalar.
5.6 A coleção hexatônica.
Assim como as coleções octatônicas e tons-inteiros, a coleção hexatônica, cc(014589) (nome de Forte = 6-20), ocorre frequentemente na música pós-tonal e tem muitas propriedades impressionantes. Ela é simétrica tanto transpoitiva quanto inversivamente em três níveis diferentes. Como resultado, há somente quatro membros distintos desta classe de conjuntos, identificados pelo semitom de classe de notas numericamente mais grave que as define exclusivamente (ver o Exemplo 5-20).
Exemplo 5-20: as quatro coleções hexatônicas.
HEX0,1 [0, 1, 4, 5, 8, 9]
HEX1,2 [1, 2, 5, 6, 9, 10]
HEX2,3 [2, 3, 6, 7, 10, 11]
HEX3,4 [3, 4, 7, 8, 11, 0]
A coleção hexatônica pode ser pensada como uma combinação de duas tríades aumentadas relacionadas por T1 - cada coleção hexatônica contém duas das quatro tríades aumentadas e exclue as outras duas (ver o Exemplo 5-21).
Quando escrita como uma escala, a coleção hexatônica alterna 1 e 3 (comparar com as escalas octatônicas que alternam 1 e 2) (Exemplo 5-22).
| Ordenamento escalar 1-3 | Ordenamento escalar 3-1 | |
|---|---|---|
| HEX0,1 | Dó-Dó-Mi-Fá-Sol-Lá | Dó-Mi-Fá-Sol-Lá-Dó |
| Mi-Fá-Sol-Lá-Dó-Dó | Fá-Sol-Lá-Dó-Dó-Mi | |
| Sol-Lá-Dó-Dó-Mi-Fá | Lá-Dó-Dó-Mi-Fá-Sol | |
| HEX1,2 | Dó-Ré-Fá-Fá-Lá-Si | Ré-Fá-Fá-Lá-Si-Dó |
| Fá-Fá-Lá-Si-Dó-Ré | Fá-Lá-Si-Dó-Ré-Fá | |
| Lá-Si-Dó-Ré-Fá-Fá | Si-Dó-Ré-Fá-Fá-Lá | |
| HEX2,3 | Ré-Mi-Fá-Sol-Si-Si | Mi-Fá-Sol-Si-Si-Ré |
| Fá-Sol-Si-Si-Ré-Mi | Sol-Si-Si-Ré-Mi-Fá | |
| Si-Si-Ré-Mi-Fá-Sol | Si-Ré-Mi-Fá-Sol-Si | |
| HEX3,4 | Ré-Mi-Sol-Lá-Si-Dó | Mi-Sol-Lá-Si-Dó-Ré |
| Sol-Lá-Si-Dó-Ré-Mi | Lá-Si-Dó-Ré-Mi-Sol | |
| Si-Dó-Ré-Mi-Sol-Lá | Dó-Ré-Mi-Sol-Lá-Si |
Por causa de suas simetrias e redundâncias internas, a coleção hexatônica tem uma estrutura de subconjuntos limitada (ver a malha de inclusão provida no Exemplo 3-17). Entre os seus subconjuntos estão alçgumas formações familiares como o acorde de sétima maior, as tríades menores e maiores e a tríade aumentada. Assim como com a coleção octatônica, então é possível escrever música que é hexatônica, mas que apesar disso, é um tanto tradicional.
Há quatro coleções hexatônicas nomeadas pelo seu semitom de classes de notas mais grave (HEX0,1, HEX1,2, HEX2,3 e HEX3,4) e suscetível a dois ordenamentos escalares: 1-3 e 3-1.
5.7 Interações cêntricas e de coleções.
As quatro coleções discutidas até aqui (diatônica, octatônica, tons-inteiros e hexatônica) frequentemente ocorrem em interação produtiva umas com as outras. A música pode mudar de uma para outra e passagens musicais podem ser entendidas em termos da interpenetração de uma por outra. As coleções diatônica e octatônica formam um par particularmente efetivo, pois à despeito de suas óbvias diferenças estruturais, elas compartilham muitos subconjuntos. A coleção octatônica é rica em tríades - ela contém quatro tríades maiores e quatro tríades menores. Ela também contém outras harmonias diatônicas, incluindo o segmento escalar (0235) e os acordes de sétima menor, meio-diminutos e de dominante. Todas essas harmonias podem criar pontos de interseção em música que use tanto coleções diatônicas quanto octatônicas.
O início da Symphony of Psalms faz uso extensivo da OCT1,2 começando em Mi: Mi-Fá-Sol-Lá-Si-Si-Dó-Ré. A (0134), caracterizada nesse ordenamento foi descrita por Stravinsky como a ideia básica para a obra inteira. Ele se referia àquela classe e conjuntos como "duas terças menores unidas por uma terça maior". O famoso acorde de abertura, conhecido como o "Acorde dos Salmos" é imediatamente seguido por música extraída da coleção octatônica que o contém (Exemplo 5-22).
Mais adiante na peça, o acorde é apresentado novamente (Exemplo 5-23). Agora, entretanto, o acorde está seguido de música extra[ida da coleção diatônica (Mi Frígio) que o contém.
O acorde "dos Salmos" em Mi menor é comum à OCT1,2 em Mi e Mi Frigio. Ele conecta os tipos contrastantes de música neste movimento. A nota cêntrica (Mi) permanece a mesma, enquanto o ambiente de coleções muda entre OCT1,2 e DIA.
Também é possível para uma coleção octatônica interagir com outra ou uma coleção diatônica interagir com outra. Quando coleções diatônicas interagem, os compositores frequentemente usam coleções que compartilham seis notas comuns. Na passagem do Exemplo 5-24, Stravinsky combina Lá-Eólio com Fá-Jônio. O Fá e o Lá competem como centros, assim como o fazem as tríades de Fá maior e Lá menor. Veja-se a sonridade formada no tempo forte de cada um dos cinco primeiros compassos [*]. Ela tem Lá nas vozes externas, mas Fá está sempre presente numa voz interna. A tríade é Fá maior, mas Lá é a nota mais proeminente. Na última colcheia do compasso 5 a mão direita chaga em uma tríade de Lá menor, mas embaixo o baixo insiste em Fá. A sonoridde combina tríades em Lá e Fá assim como a passagem como um todo combina coleções diatônicas em Lá e Fá.
No Exemplo 5-24 as três frases são diferenciadas pela coleção em uso: OCT1,2, OCT23 e DIA6. A primeira frase combina duas formas de (0235) relacionadas à T6 A segunda frase transpõe ambos os tetracordes melódicos quatorze semitons abaixo. A relação entre os tetracordes ainda é T6 "[para propósitos comparativos estou considerando essas melodias como formas incompletas de (0235)]". Mas a transposição moveu a música para uma coleção diatônica diferente. Na terceira frase o violino 1 permanece exatamente no mesmo local (e o Fá implícito está suprido), mas o violino 2 move-se um semitom abaixo. Como resultado, a relação entre os tetracordes melódicos agora é T5 e uma coleção diatônica, mais do que octatônica resulta. Transpondo e combinando tetracordes (0235) de modos diferentes, Bartók articula as três frases pelas coleções.
É difícil falar sobre essa música em termos de centralidade. Em vez de tentar identificar uma única nota cêntrica, ou mesmo um par de notas competitivas, pode-se dizer apenas que ambos os violinos projetam um estável enquadramento de quarta justa, dentro da qual há notas de passagem internas e que essas quartas contrastam e são mantidas em tensão umas com as outras. Uma grande quantidade de música pós-tonal é moldada por interações cêntricas e de coleções desse tipo.
Coleções do mesmo tipo ou de tipos diferentes podem interagir especialmente se elas têm subconjuntos em comum.