Espaço atonal expandido de encadeamentos.

Ricardo Mazzini Bordini (UFMA)

Materiais para consulta prévia.

Colocou-se aqui, para facilidade de localização, logo no início desta página, apontadores para alguns arquivos que fazem parte do espaço ou que foram usados em sua confecção. Recomenda-se a leitura do prefácio mais abaixo para melhor compreensão dos mesmos.

Modelo completo do espaço atonal expandido de encadeamentos (carta de navegação):

Códigos de multiconjuntos e multiplicidades:

Espaço atonal de encadeamentos (enciclopédia):

Planilhas com cálculos de operações por semitom e suas formas primas:

Planilhas com cálculos de contagem de classes de conjuntos, multiconjuntos e compostos de multiplicidades:

Planilhas com cálculos para intervalos comuns e troca de intervalos:

Prefácio

Este projeto foi iniciado como parte de um estágio de pós-doutorado com bolsa oferecida pela Comissão de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). O estágio foi realizado na University of California at Santa Cruz (UCSC) com supervisão do Dr. David Evan Jones entre julho de 2011 e junho de 2012. Agradecimentos ao Dr. Joseph N. Straus por permitir usar e alterar a sua representação do espaço de encadeamentos para tricordes e pelas suas muitas sugestões e correções valiosas. Agradecimento especial para Matthew Mitchell por seus muitos comentários inspiradores. A continuação do projeto deu-se como parte de um segundo estágio pós-doutoral realizado entre agosto de 2023 e julho de 2024 sob supervisão do Prof. Marcos da Silva Sampaio, a quem agradeço penhoradamente pois sem sua valiosa colaboração, este trabalho teria sido inimaginavelmente mais difícil, se é que possível.

O espaço atonal expandido de encadeamentos é entendido aqui como o espaço atonal de encadeamentos tradicional ao qual se acrescenta uma nova classe de operações. Ele contém as operações simples tradicionais (+1 ou -1) mais uma nova operação dupla (+1 e -1). Algumas operações, tanto simples quanto duplas, resultam em multiconjuntos (multisets) que foram adicionados nessa versão do espaço (a versão prévia não considerava esses resultados que aumentam significativamente a quantidade de conexões). As operações duplas provêm conexões com classes de conjuntos diferentes daquelas proporcionadas pelas operações simples, porém, também conectam algumas classes de conjuntos que já estavam conectadas por operações simples, assim, pode-se chegar ao mesmo lugar por vias diferentes em alguns casos. As operações duplas não fazem parte da literatura de referência e, portanto, estão aqui apenas para ampliar as possibilidades de encadeamentos. Para manter-se no espaço tradicional, basta desconsiderar as conexões indicadas pelas convenções de notação. As convenções de notação para facilitar tanto a construção do modelo quanto o seu uso estão descritas a seguir e mostradas mais adiante em sua forma gráfica.

Convenções:

• a ordenação é sempre crescente de baixo para cima e da esquerda para a direita;
• círculos vazados circundam: a classe de conjuntos no centro com seu nome de Forte acima e sua classe de somas abaixo;
• três tipos de conectores (linhas) indicam conexões via operações simples sendo que a linha reta indica operação com o último elemento da forma prima, a linha pontilhada com o penúltimo elemento e, a tracejada intercalada com pontos indica a operação com o primeiro elemento, isso para tricordes, pois nas demais cardinalidades, com raras exceções, essa operação muda o conjunto de aglomerado e não aparece indicada graficamente;
• a linha tracejada curva indica uma operação dupla considerada especial: ela conecta classes de conjuntos que tem o mesmo número de classe de somas e é adjacente à classe com a qual se encadeia;
• há somente dois pentacordes, (01469) e (01478), em que esse tipo de conector exclusivo de operações duplas também é compartilhado por operações simples, e nesse caso, o conector está indicado em vermelho;
• pequenas setas na mesma direção dos conectores indicam que, além das operações simples, há pelo menos uma operação dupla que faz a mesma conexão;
• um pequeno disco preto indica que há ao menos uma operação dupla que mapeia o conjunto nele mesmo;
• um traço preto sobre a forma prima indica que há pelo menos uma operação simples que mapeia o conjunto nele mesmo;
• um traço vermelho sobre a forma prima indica que nenhuma operação mapeia o conjunto nele mesmo;
• setas de saída inseridas nos quadrantes inferiores direitos dos círculos que circunda as classes de conjuntos, indicam que a conexão está distante dentro do aglomerado (em outra latitude ou longitude não adjacente) ou, está em outro aglomerado;
• uma seta com haste em forma de "z" e com um pequeno círculo no centro indica que a distância está fora de escala, ou seja, a distância entre os aglomerados foi reduzida para mostrar o local da classe de conjuntos que está em outro aglomerado;
• quando não há espaço suficiente (principalmente em classes de conjuntos que estão no centro dos aglomerados) para inserir todas as conexões na seta de saída, uma indicação de desvio, identificado por uma letra minúscula seguida de uma seta saindo de dentro de colchetes que remetem à mesma letra em local com espaço para incluir as demais conexões;
• nas setas de saída e desvios, a forma prima conectada está escrita sem parênteses para economizar espaço; a forma prima sozinha é obtida por uma ou mais operações duplas, se houver um asterisco ela é obtida por uma ou mais operações simples e, um asterisco de cor vermelha indica que, tanto uma ou mais operações duplas quanto uma ou mais operações simples resultam naquela forma prima;
• sempre que uma operação, seja simples ou dupla, resultar em uma conexão com alguma classe de conjuntos, haverá nesta classe uma operação que a conectará de volta com a anterior.
• Multiconjuntos (abreviados por mc):
• os multiconjuntos resultantes das operações estão dispostos em ordem crescente em uma tabela (colocada no lado esquerdo do gráfico) contendo a forma prima pai (fpp) e a multiplicidade de suas formas primas filhas (fpf);
• as formas primas pai são identificadas por mc e um número sequencial identificador subscrito; a multiplicidade das formas primas filhas são indicadas por mp e letras minúsculas subscritas;
• a multiplicidade é uma sequência de números subscritos e separados por vírgulas que indicam a quantidade de cada elemento da forma prima pai, por exemplo, mc₃ com multiplicidade 2,1 é escrito como: (03)_2,1, significando que há dois zeros e um 3, ou seja, é o multiconjunto (003);
• no quadrante superior esquerdo dos círculos, um traço em forma de L separa à esquerda os números dos identificadores de multiconjuntos obtidos por operações simples e, à direita, os números dos identificadores de multiconjuntos obtidos por operações duplas;
• quando as operações resultam em muitos multiconjuntos a serem inseridos, um M maiúsculo seguido de um identificador numérico sequencial remete aos multiconjuntos escritos em uma linha de texto contendo os identificadores de formas primas pai e suas multiplicidades, por exemplo: M1: 1a, 1b, 2b etc. representam respectivamente a primeira forma prima pai com o primeiro tipo de multiplicidade, depois a mesma forma prima, mas com o segundo tipo de multiplicidade e, a segunda forma prima pai com o segundo tipo de multiplicidade;
• em geral os multiconjuntos resultantes de operações simples são diferentes dos obtidos por operações duplas, entretanto, há alguns casos em que há pelo menos uma operação simples que compartilha o mesmo multiconjunto, com a mesma multiplicidade, com pelo menos uma operação dupla; os indicadores de multiconjuntos que têm essa propriedade estão escritos em vermelho no lado direito e, se os dois lados estiverem escritos por extenso, em ambos os multiconjuntos estarão em vermelho (não há nenhum caso nos tetracordes);
• Atenção: nem todas as possíveis multiplicidades são obtidas pelas operações sendo que as aquelas com tricordes só produzem 7 formas primas pai com 2 tipos de multiplicidades apenas; os tetracordes produzem 18 formas primas pai com 5 tipos de multiplicidades; os pentacordes produzem 41 formas primas pai com 10 tipos diferentes de multiplicidades e os hexacordes 69 formas primas pai com 15 tipos de multiplicidades diferentes.

Convenções de notação.

Atenção: assim como as classes de conjuntos são representadas por suas formas primas, entendendo-se a forma prima como sendo aquela dentre todas as transposições e inversões que são membros da classe e que começa com zero e é mais compacta à esquerda, assim também acontece com os multiconjuntos. A forma prima do multiconjunto (022) por exemplo é (002), que é a forma prima da inversão. As operações são efetuadas sempre sobre as formas primas e seus resultados nem sempre estarão em forma prima, mas estes serão sempre convertidos para a forma prima.

A par do modelo gráfico, há uma série de páginas com informações sobre as classes de conjuntos, os encadeamentos e as classes de intervalos envolvidas. Cada página, uma para cada cardinalidade, está dividida em quatro colunas. A primeira apresenta informações gerais sobre o conjunto que está sendo referenciado e seu complemento (vetores classe-intervalar, vetores de índice, simetria transpositiva e inversiva etc). A segunda contém as operações com as conexões resultantes. A terceira coluna lista a quantidade de intervalos comuns, perdidos e recebidos em cada conexão. A quarta apresenta um gráfico mostrando a localização das classes de conjuntos em forma prima e das conexões no espaço.

A localização das classes de conjuntos segue um padrão uniforme. A localização é dada por um código composto de 4 itens: a Cardinalidade (C), o Aglomerado (A) que varia para cada cardinalidade sendo 0 (zero) para tricordes, 0 e mais um número para tetracordes, 0 e mais dois números para pentacordes e, 0 mais três números para hexacordes (em suma, o aglomerado agrupa classes de conjuntos que começam com os mesmos números); a linha de latitude (La) que é sempre o número do penúltimo elemento da classe de conjuntos e, pela coluna de longitude (Lo) que é sempre o número do último elemento da classe de conjuntos. Por exemplo: o código para a classe de conjuntos 3-1 (012) é C3A0La1Lo2, ou seja, é um tricorde que está no aglomerado 0 (os tricordes só têm um), na latitude 1 e na longitude 2. O código C4A02La3Lo5 corresponde a um tetracorde, que está no aglomerado 02, na latitude 3 e longitude 5, ou seja, (0235). O modelo completo do espaço atonal expandido de encadeamentos pode ser acessado por aqui.

Ao consultar (dir-se-ia melhor, estudar) as páginas que estão separadas por cardinalidade, observem-se ainda as seguintes convenções adotadas:

• E1+: operação simples em que o primeiro elemento de uma classe de conjuntos é acrescido de um semitom. Operações simples são representadas por linhas sólidas no modelo gráfico do espaço;
• E1+|E2-: operação dupla em que o primeiro elemento é acrescido e o segundo decrescido de um semitom. Atenção, algumas operações duplas podem mudar inteiramente o conteúdo classe-intervalar e, portanto, são encadeamentos para regiões mais afastadas. Operações duplas são representadas por linhas tracejadas no modelo gráfico;
• As quantidades de classes de intervalos em comum, perdidas ou ganhas são representadas por um número indicando a quantidade de intervalos, seguido por dois pontos e, outro número indicando a classe de intervalos, por exemplo: 3:2 significa três segundas maiores; 2:6 significa dois trítonos e, assim por diante. As classes de intervalos são: 0 para primeiras justas (uníssonos), 1 para segundas menores (ou sétimas maiores), 2 para segundas maiores (ou sétimas menores), 3 para terças menores (ou sextas maiores), 4 para terças maiores (ou sextas menores), 5 para quartas justas (ou quintas justas) e 6 para os trítonos (quarta aumentada ou quinta diminuta);
• Primeiras justas (uníssonos) só são encontrados em multiconjuntos, obviamente;
• As formas primas dos multiconjuntos estão dadas por sua forma originária (ou forma prima pai) entre parênteses, com as classes de notas separadas por vírgulas e, seguida dos indicadores de multiplicidade em subscrito para evitar confusão, pois a forma prima (0,1) pode representar tanto (001) quanto (011), (0001), (0011) etc.; (0,1,2) pode representar (0012), (0112)ou (0122) e mesmo (00012), (00112) etc. Com os indicadores de multiplicidade, as repetições ficam absolutamente qualificadas, por exemplo: (0,1)_2,1 refere-se ao multiconjunto (001); (0,1)_2,2 refere-se à (0011). Aos multiconjuntos não se aplicam números de soma. Multiconjuntos não identificados pelo nome de (Allen) Forte;
• Tetracordes, pentacordes e hexacordes estão dispostos em ordem crescente e não seguem a ordem do número de Forte. (Os tricordes seguem a ordem crescente em paralelo com os nomes de Forte, o mesmo não acontece com outras cardinalidades.)
• A quantidade de intervalos perdidos ou ganhos depende da direção. As direções por padrão partem sempre da forma prima do conjunto de referência para as demais. Para reverter a direção deve-se reverter as quantidades: as perdidas tornam-se ganhas e as ganhas tornam-se perdidas;
• Os arquivos de áudio tocam em sequência: intervalos melódicos dos elementos em ordem crescente um a um; intervalos harmônicos entre o primeiro e o segundo, o primeiro e o terceiro e assim por diante e, finalmente, todos os elementos juntos em arpejo.

Todas as informações estão codificadas em formato XML e apresentadas com folha de estilo XSL. Nem todos os navegadores têm suporte para XML com XSL. No Edge da Microsoft é necessário abrir as configurações e aplicar o opção "recarregar o módulo Internet Explorer".

Espaço atonal de encadeamentos:

• para tricordes.
• para tetracordes.
• para pentacordes.
• para hexacordes.